Основные понятия, гипотезы и допущения сопротивления мате риалов

Основные задачи сопротивления материалов.

Сопротивление материалов - наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов инженерных конструкций. Методами со­противления материалов выполняются расчеты, на основании кото­рых определяются необходимые размеры деталей машин и конструкций инженерных сооружений.

В отличие от теоретической механики сопротивление материа­лов рассматривает задачи, в которых наиболее существенными яв­ляются свойства твердых деформируемых тел, а законами движения тела как жесткого целого здесь пренебрегают. В то же время, вслед­ствие общности основных положений, сопротивление материалов рассматривается как раздел механики твердых деформируемых тел.

В состав механики деформируемых тел входят также такие дис­циплины, как: теория упругости, теория пластичности, теория пол­зучести, теория разрушения и др., рассматривающие, по существу, те же вопросы, что и сопротивление материалов. Различие между сопротивлением материалов и другими теориями механики твердо­го деформируемого тела заключается в подходах к решению задач.

Строгие теории механики деформируемого тела базируются на более точной постановке проблем, в связи с чем, для решения задач приходится применять более сложный математический аппарат и проводить громоздкие вычислительные операции. Вследствие этого возможности применения таких методов в практических задачах ограничены.

В свою очередь, методы сопротивления материалов базируются на упрощенных гипотезах, которые, с одной стороны, позволяют решать широкий круг инженерных задач, а с другой, получать при­емлемые по точности результаты расчетов.

При этом главной задачей курса является формирование зна­ний для применения математического аппарата при решении при­кладных задач, осмысления полученных численных результатов и поиска выбора наиболее оптимальных конструктивных решений. То есть данный предмет является базовым для формирования ин­женерного мышления и подготовки кадров высшей квалификации по техническим специализациям.

Методы расчета наиболее распространенных элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость при одновременном удовлетворении требований надежности и экономичности

Сопротивление материалов – раздел технической механики, в котором изучаются экспериментальные и теоретические основы и методики расчета наиболее распространенных элементов различных конструкций под воздействием внешних нагрузок.

Любая конструкция должна быть экономичной, технологичной в изготовлении, удобной при транспортировке и монтаже и безопасной при эксплуатации. Особенно это относится к конструкциям, работающим с огне- и взрывоопасными средами при повышенных температуре и давлении.

• Прочность - способность элементов конструкций сопротивляться действию внешних нагрузок не разрушаясь.
• Жесткость - способность элементов конструкций, под действием внешних нагрузок получать лишь незначительные деформации, лежащие в пределах допустимых значений.
• Устойчивость - способность элементов конструкций принимать первоначальную форму устойчивого равновесия после снятия внешних нагрузок.

Встречающиеся отказы при работе конструкций приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Виды отказов в работе конструкций

Наименование отказа	Характер отказа	Условия, исключающие отказ
Потеря несущей способности		Расчет на прочность   p ≤ [p],   где p – полные истинные напряжения в опасной точке; [p] – допускаемые напряжения
Недопустимо большие деформации		Расчет на жесткость   f ≤ [f],   где f – действительный прогиб; [f] – допустимый или предельный прогиб
Потеря устойчивости		Расчет на устойчивость  где [F] – допускаемая нагрузка; Fкр – критическая нагрузка, при которой происходит потеря устойчивости; [n]y – нормативный коэффициент запаса устойчивости

Таким образом, основной задачей сопротивления материалов является разработка методов расчета элементов различных конструкций на прочность, жесткость и устойчивость при одновременном удовлетворении требований надежности и экономичности.

Допущения принятые в сопротивлении материалов

В сопротивлении материалов за расчетную модель принята модель идеализированного деформируемого тела и для решения поставленной задачи делается ряд допущений:

1. Материал тела представляет собой однородную сплошную среду. Физико-механические свойства тела одинаковы по всем направлениям (изотропная среда). Тела, у которых изменчивость механических свойств обусловлена неоднородностью структуры и спецификой изготовления, называются анизотропными, их свойства зависят от направления.

2. Материал до известного предела нагружения обладает идеальной упругостью.Упругостью называется способность материальных тел восстанавливать первоначальную форму и размеры тела после снятия нагрузки. Деформации, полностью исчезающие после снятия нагрузки, называются упругими в отличие от пластических, или остаточных, которые не исчезают.

3. Перемещения точек элемента (или системы элементов), обусловленные его деформацией, весьма малы по сравнению с размерами самого элемента. На основе этого допущения вводится принцип начальных размеров, согласно которому при составлении уравнений равновесия элемент или систему элементов рассматривают как недеформируемое тело. Такой подход позволяет пренебречь изменениями в расположении внешних сил при деформировании реального тела.

4. Перемещения точек элемента (системы элементов) в упругой стадии работы материала пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения. Системы, подчиняющиеся такой закономерности, называются линейно-деформируемыми. Для них справедлив принцип независимости действия и сложения действия сил (принцип суперпозиции), который может быть сформулирован следующим образом: результат воздействия на тело системы сил равен сумме результатов воздействия отдельных составляю-щих этой системы, прикладываемых к телу последовательно и в любом порядке.

5. В теле до приложения нагрузки нет внутренних (начальных) усилий.

6. Деформации тела настолько малы, что можно не учитывать их влияние на взаимное расположение нагрузок.

7. Гипотеза плоских сечений. Поперечные сечения бруса плоские до приложения нагрузки остаются плоскими, и после приложения нагрузки.

8. Принцип Сен-Венана. В точках тела, достаточно удалённых от места приложения нагрузок, внутренние силы весьма мало зависят от конкретного способа приложения этих нагрузок. Этот принцип позволяет производить замену одной системы сил другой системой, статически эквивалентной, что может упростить расчёт.

Реальная конструкция и её расчётная схема

Реальные конструкции, как правило, характеризуются большой сложностью конструктивных форм (мост, купол и т.п.).

Провести расчёт реальных конструкции с учётом всех конструктивных особенностей очень часто сложно и иногда даже невозможно!

Вместе с тем конструктивные особенности не всегда оказывают существенное влияние на работу сооружения.

Поэтому при расчёте реальной конструкции её всегда заменяют идеализированной упрощённой схемой – так называемой расчётной схемой, выбор которой является исключительно ответственным этапом расчёта.

От этого выбора зависит точность и трудоёмкость расчёта. Иногда даже небольшое уточнение её ведёт за собой существенное усложнение расчёта или наоборот.

Пример расчетной схемы для решения задачи

Расчётная схема должна удачно отражать основной характер работы реальной конструкции, устраняя несущественные второстепенные факторы.

При схематизации реальных объектов основными элементами расчётных схем являются: брус, оболочка, конструкция крепления этих элементов, также делаются упрощения в системе сил, приложенных к элементу конструкции.

Деформации упругая и пластичная.

Деформация – это изменение формы и размеров тела, деформация может вызываться воздействием внешних сил, а также другими физико-механическими процессами, которые происходят в теле. К деформациям относятся такие явления, как сдвиг, сжатие, растяжение, изгиб и кручение.Упругая деформация – это деформация, которая исчезает после снятия нагрузки. Упругая деформация не вызывает остаточных изменений в свойствах и структуре металла; под действием приложенной нагрузки происходит незначительное обратимое смещение атомов.При растяжении монокристалла возрастают расстояния между атомами, а при сжатии атомы сближаются. При смещении атомов из положения равновесия нарушается баланс сил притяжения и электростатического отталкивания. После снятия нагрузки смещенные атомы из-за действия сил притяжения или отталкивания возвращаются в исходное равновесное состояние и кристаллы приобретают первоначальные размеры форму.Деформация может быть упругой, исчезающей после снятия нагрузки, и пластической, остающейся после снятия нагрузки.Самое малое напряжение вызывает деформацию, причем начальные деформации являются всегда упругими и их величина находится в прямой зависимости от напряжения. Основными механическими свойствами являются прочность, пластичность, упругость.Важное значение имеет пластичность, она определяет возможность изготовления изделий различными способами обработки давлением. Эти способы основаны на пластическом деформировании металла.

Материалы, которые имеют повышенную пластичность, менее чувствительны к концентраторам напряжений. Для этого проводят сравнительную оценку различных металлов и сплавов, а также контроль их качества при изготовлении изделий.Физическая природа деформации металловПод действием напряжений происходит изменение формы и размеров тела. Напряжения возникают при действии на тело внешних сил растяжения, сжатия, а также в результате фазовых превращений и некоторых других физико-химических процессов, которые связанны с изменением объема. Металл, который находится в напряженном состоянии, при любом виде напряжения всегда испытывает напряжения нормальные и касательные, деформация под действием напряжений может быть упругой и пластической. Пластическая происходит под действием касательных напряжений.

Упругая – это такая деформация, которая после прекращения действия, вызвавшего напряжение, исчезает полностью. При упругом деформировании происходит изменение расстояний между атомами в кристаллической решетке металла.С увеличением межатомных расстояний возрастают силы взаимного притяжения атомов. При снятии напряжения под действием этих сил атомы возвращаются в исходное положение. Искажение решетки исчезает, тело полностью восстанавливает свою форму и размеры. Если нормальные напряжения достигают значения сил межатомной связи, то произойдет хрупкое разрушение путем отрыва. Упругую деформацию вызывают небольшие касательные напряжения.Пластической называется деформация, остающаяся после прекращения действия вызвавших ее напряжений. При пластической деформации в кристаллической решетке металла под действием касательных напряжений происходит необратимое перемещение атомов. При небольших напряжениях атомы смещаются незначительно и после снятия напряжений возвращаются в исходное положение. При увеличении касательного напряжения наблюдается необратимое смещение атомов на параметр решетки, т. е. происходит пластическая деформация.

При возрастании касательных напряжений выше определенной величины деформация становится необратимой. При снятии нагрузки устраняется упругая составляющая деформации. Часть деформации, которую называют пластической, остается.При пластической деформации необратимо изменяется структура металла и его свойства. Пластическая деформация осуществляется скольжением и двойникованием.Скольжение в кристаллической решетке протекает по плоскостям и направлениям с плотной упаковкой атомов, где сопротивление сдвигу наименьшее. Это объясняется тем, что расстояние между соседними атомными плоскостями наибольшее, т. е. связь между ними наименьшая. Плоскости скольжения и направления скольжения, лежащие в этих плоскостях, образуют систему скольжения. В металлах могут действовать одна или одновременно несколько систем скольжения.Металлы с кубической кристаллической решеткой (ГЦК и ОЦК) обладают высокой пластичностью, скольжение в них происходит во многих направлениях.Процесс скольжения не следует представлять как одновременное передвижение одной части кристалла относительно другой, оно осуществляется в результате перемещения в кристалле дислокаций. Перемещение дислокации в плоскости скольжения ММ через кристалл приводит к смещению соответствующей части кристалла на одно межплоскостное расстояние, при этом справа на поверхности кристалла образуется ступенька.

Классификация нагрузок и элементов конструкции техническая механика.

Статические нагрузки (рис. 18.2 а) не меняются со временем или меняются очень медленно. При действии статических на­грузок проводится расчет на прочность.

Повторно-переменные нагрузки (рис. 18.2 б) многократно меня­ют значение или значение и знак. Действие таких нагрузок вызывает усталость металла.

Динамические нагрузки (рис. 18.2 в) меняют свое значение в короткий промежуток времени, они вызывают большие ускоре­ния и силы инерции и могут привести к внезапному разрушению конструкции.

Из теоретической механики известно, что по способу приложе­ния нагрузки могут быть сосредоточенными или распределенными по поверхности.

Реально передача нагрузки между деталями происходит не в точке, а на некоторой площадке, т. е. нагрузка является распреде­ленной.

Однако если площадка контакта пренебрежительно мала по сравнению с размерами детали, силу считают сосредоточенной.

При расчетах реальных деформируемых тел в сопротивлении материалов заменять распределенную нагрузку сосредоточенной не следует.

Аксиомы теоретической механики в сопротивлении материалов используются ограниченно.

Нельзя переносить пару сил в другую точку детали, переме­щать сосредоточенную силу вдоль линии действия, нельзя систе­му сил заменять равнодействующей при определении перемещений. Все вышеперечисленное меняет распределение внутренних сил в конструкции.

Формы элементов конструкции

Все многообразие форм сводится к трем видам по одному при­знаку.

1. Брус — любое тело, у которого длина значительно больше других размеров.

В зависимости от форм продольной оси и поперечных сечении различают несколько видов брусьев:

— прямой брус постоянного поперечного сечения (рис. 18.З а);

— прямой ступенчатый брус (рис. 18.36);

— криволинейный брус (рис. 18.З в)

2. Пластина — любое тело, у которого толщина значительно меньше других размеров (рис. 18.4).

3. Массив — тело, у которого три размера одного порядка.

Нагрузки внешние и внутренние, метод сечений

Элементы конструкции при работе испытывают внешнее воз­действие, которое оценивается величиной внешней силы. К внешним силам относят активные силы и реакции опор.

Под действием внешних сил в детали возникают внутренние силы упругости, стремящиеся вернуть телу первоначальную форму и размеры.

Внешние силы должны быть определены методами теоретиче­ской механики, а внутренние определяются основным методом со­противления материалов — методом сечений.

В сопротивлении материалов тела рассматриваются в равнове­сии. Для решения задач используют уравнения равновесия, получен­ные в теоретической механике для тела в пространстве.

Используется система координат, связанная с телом. Чаще про­дольную ось детали обозначают z, начало координат совмещают с левым краем и размещают в центре тяжести сечения.

Метод сечений

Метод сечений заключается в мысленном рассечении тела плоскостью и рассмотрении равновесия любой из отсеченных ча­стей.

Если все тело находится в равновесии, то и каждая его часть находится в равновесии под действием внешних и внутренних сил. Внутренние силы определяются из уравнений равновесия, соста­вленных для рассматриваемой части тела.

Рассекаем тело поперек плоскостью (рис. 19.1). Рассматрива­ем правую часть. На нее действуют внешние силы F ₄ , F ₅ , F ₆ и внутренние силы упругости q _k, распределенные по сечению. Систему распределенных сил можно заменить главным вектором Rо, помещенным в центр тяжести сечения, и суммарным моментом сил.

Разложив главный вектор Rо по осям, получим три составляющих

где Nz — продольная сила;

Qх — поперечная сила по оси x;

Qу — поперечная сила по оси у.

Главный момент тоже принято представлять в виде момент пар сил в трех плоскостях проекции:

М₀ = М_х + М_у + М_г,

М_х — момент сил относительно Ох; М_у — момент сил относительно Оу; Мz — момент сил относительно Ог.

Полученные составляющие сил упругости носят название внутренних силовых факторов. Каждый из внутренних силовых факторов вызывает определенную деформацию детали. Внутренние силовые факторы уравновешивают приложенные к этому элементу детали внешние силы.

Используя шесть уравнений равновесия, можно получить величину внутренних силовых факторов:

Из приведенных уравнений следует, что:

Nz — продольная сила, равная алгебраической сумме проекций на ось Ог внешних сил, действующих на отсеченную часть бруса; вызывает растяжение или сжатие;

Qх — поперечная сила, равная алгебраической сумме проекций на ось Ох внешних сил, действующих на отсеченную часть;

Qу — поперечная сила, равная алгебраической сумме проекций на ось Оу внешних сил, действующих на отсеченную часть;

силы Qх и Qу вызывают сдвиг сечения;

Мz — крутящийся момент, равный алгебраической сумме мо­ментов внешних сил относительно продольной оси Оz; вызывает скручивание бруса;

М_х — изгибающий момент, равный алгебраической сумме мо­ментов внешних сил относительно оси Ох;

М_у — изгибающий момент, равный алгебраической сумме мо­ментов внешних сил относительно оси Оу;

моменты М_х и М_у вызывают изгиб бруса в соответствующей плоскости.

Метод сечений: напряжение полное, нормальное, касательное.

Внешние силы, действующие на тело, вызывают появление в нём внутренних сил упругости. Если внешние силы деформируют тело, то внутренние силы сопротивляются их воздействию и стремятся сохранить первоначальную форму и объём тела. При решении задач сопротивления материалов, связанных с расчётом на прочность и жёсткость элементов конструкций, необходимо уметь определять внутренние силы и деформации, возникающие в этих элементах.

При определении внутренних сил в каком-либо сечении тела используют метод сечений. Это универсальный метод, который можно использовать при любом виде деформации, рассмотренном выше. Суть этого метода заключается в следующем. Рассмотрим тело, находящееся в состоянии равновесия под действием четырёх сил  ,  ,  ,  (рис. 2.6). Для определения внутренних сил, действующих в любом сечении, например n-n, мысленно рассечём тело по этому сечению и одну из частей отбросим (рис. 2.7). На оставшуюся часть тела действуют силы  и  . Для того чтобы тело находилось в равновесии, необходимо по всему сечению приложить внутренние силы. Эти силы представляют действие отброшенной правой части на оставшуюся левую. Будучи внутренними для целого тела, они играют роль внешних сил для выделенной части.

Величина равнодействующей внутренних усилий определяется из условия равновесия оставшейся части тела при помощи уравнений статики.

Метод сечений позволяет определить только сумму внутренних сил, действующих в интересующем нас сечении. Сумма этих сил может приводиться к одной силе, к паре сил или в общем случае – к силе и паре сил. Закон распределения внутренних усилий по сечению, как правило, неизвестен. Для решения этого вопроса необходимо знать в каждом конкретном случае, как деформируется данное тело под действием внешних сил. Таким образом, в поперечном сечении нагруженного внешними силами тела действуют непрерывно распределённые усилия, интенсивность которых может быть различной в разных точках сечения и в разном направлении.

Если в сечении выделить бесконечно малую площадку ∆A и обозначить равнодействующую внутренних сил, действующих на эту площадку ∆R, то отношение силы ∆R к величине выделенной площадки ∆A даст среднее напряжение на этой площадке:

Таким образом, чтобы получить истинное напряжение или просто напряжение в данной точке, необходимо уменьшить до бесконечности размеры площадки:

Упрощенно можно сказать, что напряжением называется внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади в данной точке данного сечения.

Напряжение выражают в ньютонах на квадратный метр. Эта величина называется паскаль: Па = Н/м². В технике часто применяют единицу измерения напряжения, которая носит название мегапаскаль. Один мегапаскаль равен миллиону паскалей: 10⁶ Па = МПа.

Полное напряжение р можно разложить на две составляющие: нормальную к плоскости сечения, она обозначается σ и называется нормальным напряжением; вторая составляющая лежит в плоскости сечения, она обозначается τ и называется касательным напряжением (рис. 2.8). Касательное напряжение может иметь любое направление в плоскости сечения. Для удобства  представляют в виде двух составляющих по направлению координатных осей (рис. 2.9). У нормального напряжения ставится индекс, указывающий, какой из осей параллельно это напряжение. Растягивающие нормальные напряжения принято считать положительными, сжимающие – отрицательными. Касательные напряжения снабжены двумя индексами. Первый показывает, какой оси параллельна нормаль к площадке действия данного напряжения; второй – какой оси параллельно само напряжение.

Очевидно, что полное напряжение можно выразить через  и :

Полное напряжение не считается удобной мерой интенсивности внутренних усилий, так как материалы по разному сопротивляются действию нормальных и касательных напряжений. Нормальные напряжения (рис. 2.8) стремятся сблизить либо удалить отдельные части тела. Действие касательных напряжений (рис. 2.9) приводит к сдвигу одних частиц относительно других в плоскости сечения.

Если мысленно вырезать вокруг какой-нибудь точки тела элемент в виде бесконечно малого кубика, то по его граням в общем случае будут действовать напряжения, представленные на рис. 2.10. Совокупность напряжений на всех элементарных площадках, проведённых через какую – либо точку тела, называется напряжённым состоянием в данной точке.

 

Если по граням кубика действуют только нормальные напряжения, то они называются главными, а площадки, на которых они действуют, – главными площадками. Можно доказать, что в каждой точке напряжённого тела существует три главные взаимно перпендикулярные площадки. Главные напряжения обозначают    при этом с учётом знака напряжения  (рис. 2.11). Различные виды напряжённого состояния классифицируются в зависимости от числа возникающих главных напряжений. Если отличны от нуля все три главных напряжения, то напряжённое состояние называется трёхосным или объёмным. 1Если равно нулю одно из главных напряжений, то напряжённое состояние называется двухосным или плоским. Если равны нулю два главных напряжения, то напряжённое состояние одноосное или линейное.

Зная напряжённое состояние в любой точке тела, можно оценить его прочность. В простейших случаях оценка прочности детали производится по наибольшему нормальному либо по наибольшему касательному напряжению.

 Условие прочности в этих случаях выразится неравенствами:

где [ ] []– допускаемые нормальные и касательные напряжения соответственно.

В более сложных случаях оценка прочности производится по приведенному напряжению в соответствии с одной из теорий прочности.