Зако́н Гу́ка — утверждение, согласно которому деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. д.), прямо пропорциональна силе упругости, возникающей в этом теле. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком[1].

Закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между силой и деформацией становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

{\displaystyle F=k\Delta l.}

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения {\displaystyle S} и длины {\displaystyle L}) явно, записав коэффициент упругости как

{\displaystyle k={\frac {ES}{L}}.}

Величина {\displaystyle E} называется модулем упругости первого рода, или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение {\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{L}}}и нормальное напряжение в поперечном сечении {\displaystyle \sigma ={\frac {F}{S}},}то закон Гука для относительны величин запишется как{\displaystyle \sigma =E\varepsilon \ .}

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

Модуль сдвига

Модулем сдвига (упругости II рода) – называется физическая величина, характеризующая упругие свойства материалов и их способность сопротивляться сдвигающим деформациям.

Обозначается латинской буквой G,
единица измерения – Паскаль [Па] (гигапаскаль [ГПа])

Теоретически определяется отношением касательных напряжений τ к углу сдвига γ (рис. 1)

где
τ=F/A — касательные напряжения;
γ — угол сдвига;
F — сдвигающая сила;
A — площадь приложения силы F;
ΔS — величина сдвига;
a — размер элемента.

Опытное значение определяется по результатам эксперимента по определению модуля упругости II рода.

Таблица 1. Сравнительные значения модуля для некоторых материалов

Модуль упругости II рода можно определить с помощью известных модуля Юнга E и коэффициента Пуассона ν:

Модуль сдвига является коэффициентом пропорциональности в законе Гука при сдвиге:

τ=Gγ

При расчетах на кручение, GI_p – жесткость поперечного сечения вала, где I_p — полярный момент инерции поперечного сечения.

Внутренние силовые факторы при кручении

Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент.

Внешними нагрузками также являются две противоположно на­правленные пары сил.

Рассмотрим внутренние силовые факторы при кручении круг­лого бруса (рис. 26.1). Для этого рассечем брус плоскостью I и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. 26.1а). Сечение рассматриваем со стороны отброшенной части.

Внешний момент пары сил разворачивает участок бруса про­тив часовой стрелки, внутренние силы упругости сопротивляются повороту. В каждой точке сечения возникает поперечная сила dQ (рис. 26.1б). Каждая точка сечения имеет симметричную, где возни­кает поперечная сила, направленная в обратную сторону. Эти силы образуют пару с моментом

dm = pdQ;

р — расстояние от точки до центра сечения. Сумма поперечных сил в сечении равна нулю:

С помощью интегрирования получим суммарный момент сил упругости, называемый крутящим моментом:

Практически крутящий момент определяется из условия равно­весия отсеченной части бруса.

Крутящий момент в сечении равен сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть (рис. 26.1 в):

Эпюры крутящих моментов.

Рассмотрим пример построения эпюры крутящих моментов.

Пример 11.1. Построить эпюру крутящих моментов для стержня, изображенного на рис.11.10а.

Рис.11.10

Решение:

1. Разобьем вал на участки: I, II, III, IV и V.

2. Пользуясь правилом для определения крутящих моментов, изложенным выше, находим:

,  кНмкНм  кНм 

Крутящие моменты на участках I, II, III опредеделялись слева, на участках IV, V - справа.

3. Откладываем полученные моменты от базисной линии и строим эпюру крутящих моментов (Рис.11.10б).

Кручение круглого бруса поперечного сечения.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Кручением называется такой способ нагружения бруса, при котором в поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент (рис. 2.5.1). Крутящий момент считается положительным, М_кр > 0, если наблюдатель, смотрящий со стороны внешней нормали, видит крутящий момент, направленный по часовой стрелке.

Рис. 2.5.1

Гипотезы

• 1. Осью бруса является прямая.
• 2. Гипотеза плоских сечений. Плоские сечения до деформации остаются плоскими и после деформации.
• 3. Считается, что при кручении в произвольной точке поперечного сечения возникает только касательное напряжение т, направленное под прямым углом к радиусу — вектору р.

Деформации кручения возникают в брусе при нагружении скручивающими моментами. Если брус под действием этих моментов находится в равновесии, то это значит, что алгебраическая сумма скручивающих моментов равна нулю: ХЛ/ = 0 — уравнение равновесия.

Скручивающие моменты обозначаются S. Кружок с точкой означает силу, направленную на наблюдателя (как бы острие стрелы), кружок с крестиком — силу, направленную от наблюдателя (как бы хвост стрелы). Эпюра крутящих моментов — это график, показывающий, как изменяется крутящий момент по длине бруса. Крутящий момент в сечении (по методу сечений) равен алгебраической сумме крутящих моментов, действующих по одну сторону от сечения (рис. 2.5.2).

Рис. 2.5.2

Алгебраическая сумма моментов справа от сечения I—I равна Л/, = -10 кНм.

Алгебраическая сумма моментов справа от сечения II—II равна -М + М₂ = -10 кНм + 25 кНм = 15 кНм.

По этим данным строим эпюру крутящих моментов M_z

Напряжения в поперечном сечении

Сила Nx является равнодействующей внутренних силdN, действующих на бесконечно малых площадкахdA поперечного сечения площадью А. Так как Nx перпендикулярна сечению, то dN выражаются через нормальные напряжения

dN = σdA ,

Эксперименты показывают, что если на поверхность стержня нанести систему взаимно перпендикулярных линий (см. рис. 4.7), то после приложения продольной внешней силы линии переместятся параллель-

но самим себе. Это означает, что нормальные напряжения по поперечному сечению распределяются равномерно(одинаковы во

всех точках сечения). Если σ = const, то из формулы (4.9) получим

N = s× A ,

Следовательно, нормальное напряжение в поперечном сечении при растяжении (сжатии) равно отношению внутренней продольной оси в сечении к площади этого сечения.

Знак напряжения определяется знаком продольной си-

лы. Построим эпюру напряжений для ранее рассматриваемого приме-

ра (см. рис. 4.7). Пусть A1 = 0,2 ×10-3 м 2 , A2 = 0,4 ×10-3 м 2 .

Порядок построения эпюры напряжений sx тот же, что и эпюры

N x . При этом удобно использовать эпюру и выражения для Nx . Так как sx определяется не только от Nx , но и от Ax , то для данного стержня будем иметь четыре участка: ОА; АВ; ВС; СD.

Участок ОА (0 £ x1 £ a) : sx1 = N x1 = 0 ;

Угол закручивания.

Деформации валов при кручении заключаются в повороте одного сечения относительно другого.

Расчет валов сводится к одновременному выполнению двух условий:

Для стальных валов принимается:

допускаемый относительный угол закручивания

Используя условия прочности и жесткости, как и при растяжении – сжатии можно решать три типа задач:

1.     проверочный расчет, заключающийся в проверке выполнения условий прочности и жесткости при известных значениях крутящего момента, размеров и материала вала.

1.     при этом берется большее из найденных значений, а затем принимается стандартное значение по ГОСТ.

2.     Определение грузоподъемности вала:

Из двух найденных значений крутящего момента необходимо принять меньшее.