Устойчивость сжатых стержней
критическая сила, критическое напряжение, гибкость техническая механика.
Пределы применимости формулы Эйлера. Нормальное напря-
жение σcr в поперечном сечении сжатого стержня, вызываемое критической силой, называется критическим напряжением
|
|
F |
π2 EJ |
x |
|
|
π2 E |
|
|
||
|
σcr = |
cr |
= |
|
= |
|
|
|
, |
(15.15) |
|
|
|
(μ )2 A |
|
|
2 |
||||||
|
|
A |
|
μ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ix |
|
|
|
|||
где ix = Jx 
A − радиус инерции
поперечного сечения. Введем обозначение
|
λ = |
μ , |
(15.16) |
|
|
ix |
|
где λ – гибкость стержня, безразмерная геометрическая характеристика, определяемая размерами стержня и способом его закрепления.
Окончательно формула для критического напряжения выглядит
так:
|
σcr = |
π2 E |
|
|
λ2 . |
(15.17) |
При выводе формулы Эйлера была использована зависимость (15.2), полученная на основе закона Гука. Отсюда следует, что формула Эйлера справедлива лишь в пределах применимости закона Гука, т. е. при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня:
|
σcr = |
π2 E |
≤ σpr . |
(15.18) |
|
λ2 |
Отсюда значение гибкости, которое соответствует этому условию, составляет
|
λ ≥ π E σpr . |
(15.19) |
Величину, стоящую в правой части этого неравенства, обозначим λпред и назовем предельной гибкостью
|
λпред = π E σpr . |
(15.20) |
Предельная гибкость зависит только от механических свойств материала и имеет постоянное значение. Так для стали марки ВСт3 при
326
E = 2,06 105 МПа и σpr = 200–210 МПа по формуле (15.20) λпред ≈100 ;
для древесины сосны и ели (при E = 10 МПа и σpr = 20 МПа) λпред = 70. Тогда условие применимости формулы Эйлера имеет вид
|
λ ≥ λпред , |
(15.21) |
т. е. формула Эйлера применима только к упругим стержням, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости для материала, из которого он изготовлен.
Стержни, для которых выполняется условие (15.21), называются стержнями большой гибкости.
Формула Эйлера
В формуле
где x и y -
действительные числа, примем х = 0. Получим формулу 
которая называется формулой Эйлера.
Используя формулу Эйлера можно любое комплексное число z записать в показательной форме
где r – модуль комплексного числа, а j - его аргумент.
Если в этой формуле Эйлера заменить y на -y, тогда получим
Решим систему
относительно cosy,
siny. Сложим и вычтем уравнения, получим
Отсюда следуют формулы
Формула Ясинского.
Если формула Эйлера неприменима, критическая нагрузка определяется по эмпирической формуле, предложенной Ф.С. Ясинским на основе опытов, проведенных рядом исследователей.
Формула Ясинского:
где а и b – коэффициенты, зависящие от свойств материала.Для очень коротких стержней (при некоторой гибкости
) критическое напряжение может оказаться
равным предельному
напряжению при сжатии: пределу текучести для
пластичных материалов или пределу прочности для хрупких.
Тогда, при 
для
пластичных материалов критическая
нагрузка 
а для хрупких 
Категории стержней в зависимости от гибкости.
Если гибкость стержня меньше предельных значений, то формула Эйлера становится неприменимой, так как критические напряжения превысят предел пропорциональности и закон Гука потеряет силу. В этих случаях критическое напряжение определяют по эмпирической формуле Ясинского, полученной на основании многочисленных опытов:
где а, b и с — коэффициенты, зависящие от свойств материалов; значения а, бис для некоторых материалов, а также значения гибкостей, в пределах которых применима формула окр = а — ЬХ + сХ2, приведены в табл .2.8.1.
Таблица 2.8.1
|
Материал |
а, МПа |
б, МПа |
с, МПа |
*0 |
*ПР |
|
Сталь Ст. 3 |
310 |
1,14 |
0 |
60 |
100 |
|
Дюралюминий Д16Т |
406 |
2,83 |
0 |
30 |
53 |
|
Чугун СЧ15-32 |
776 |
12 |
0,053 |
10 |
80 |
|
Сосна |
29,3 |
0,194 |
0 |
- |
70 |
При гибкости X < Х0 стержни можно рассчитывать на прочность без учета опасности потери устойчивости. Из формул Эйлера и Ясинского следует, что значение критической силы возрастает с увеличением минимального момента инерции поперечного сечения стержня. Так как устойчивость стержня определяется значением минимального момента инерции его поперечного сечения, то очевидно, что рациональны сечения, у которых главные моменты инерции равны между собой. Стойка, имеющая такое сечение, обладает равноустойчивостью во всех направлениях. Из сечений подобного типа следует выбирать такие, которые обладают наибольшим моментом инерции при наименьшей площади (затрате материала). Указанным требованиям удовлетворяет кольцевое сечение. На рис. 2.8.6 представлена диаграмма зависимости критического напряжения в стержне от его гибкости.
Рис. 2.8.6
В зависимости от гибкости стержни условно делят на три категории. Стержни большой гибкости (X > X ) рассчитывают на устойчивость по формуле Эйлера; стержни средней гибкости (Х0<Х< А,пр) рассчитывают по формуле Ясинского; стержни малой гибкости (к < Х0) рассчитывают не на устойчивость, а на прочность. Для обеспечения работоспособности конструкций, работающих на сжатие, напряжения в их элементах должны составлять определенную долю от критического. Переходя от критической силы к критическому напряжению, ранее записан-
а
ное условие устойчивости принимает вид « = —- > [л].
s а уст
Если по условиям задачи необходимо подобрать размер поперечного сечения, то должны быть известны сжимающая сила F, длина стержня / и способ его закрепления, т.е. коэффициент р, материал стержня, т.е EuRy,w форма сечения. Однако условия устойчивости в данном случае являются неопределенными, поскольку без размеров сечения нельзя найти X, а следовательно, и коэффициент снижения напряжения ср. Поэтому подбор сечения проводят методом последовательных приближений. Зависимость ср и для различных материалов дается в таблице (приложение 8).
Порядок такого расчета заключается в следующем: задают значение коэффициента ср = 0,6—0,8; устанавливают оу = <pry(cy</pr — напряжение устойчивости), А = Е/су, подбирают размеры сечения или номер профиля (если стержень — прокатная сталь); находят /, / и X;
определяют новое значение — (рг Если ф, значительно отличается от ф, то в качестве второго приближения берут ф2 = 0,5(ф + ф,) и повторяют расчет.
Сечение считают подобранным, если а и оу отличаются не более чем на 5%. Для стержня стандартного проката недонапряже- ние может оказаться и более 5%.
Пример 1. Стойка из прокатной стали двутаврового профиля сжимается силой F= 300 кН (рис. 2.8.7). Подобрать № двутавра. Ry = 210 МПа, / = 2 м.
Решение. Принимаем в первом приближении ф = 0,6, тогда о =
F
= q>Ry = 0,6 • 210 = 126 МПа. Требуемая площадь сечения Атр= — =
_ 300 000 _ 2 38-10~3 м2. По сортаменту выбираем ближайший 126 ТО6
двутавр № 18, для которого А = 23,4 см2, iy = /min = 1,88 см. Здесь ц = 1 для заданного закрепления стойки по концам. По таблице в приложении 8 ф(А,) для стали Ст. 3:Х = 100, ф = 0,6; X = 110, ф = 0,52.
Для X=p//*min= 1 • 200/1,88 = 106 имеем ф1 = 0,6-0,6 ~qQ’52 6 = 0,552.
гт й Гф + фЛ 0,6 + 0,552
Для второго приближения принимаем ф2 = I—Ч =---=
= 0,579, тогда напряжение о = 0,579 *210= 121,6 МПа, площадь
, 300000Нм2 . 1П_з 2
поперечного сечения в этом случае А =--— = 2,46 -10 м .
121,6 106 Н
По сортаменту ближайший двутавр №18, для которого А = 25,4 см2,
г = 2,12 см. Гибкость стойки X = = 94 3. По таблице для ста-
у 2,12
ли Ст. 3: X = 90, ф = 0,69; X = 100, ф = 0,6. Для X = 9,43
Ф3 = 0,69- ^’^4,3 = 0,587,тогда напряжение оу = 0,587* 210 =
_ЛУГТ7 „ 300 000
= 123,27 МПа. Действующее в стоике напряжение а =-- =
25,48 -КГ4
G-G
= 118 МПа. Недонапряжения в стойке составляют-—100% =
118-123,27 w
= -— = 4%. Установим коэффициент запаса для расчет-
123,27
ной стойки: поскольку X = 94,3 < 100, окр определим по формуле
Ясинского: <т = 310 — 1,14* 94,3 = 202,5 МПа. Запас устойчивое-
кр
°кр 202,5
ти п = —- =-— = 1,75.
' о 118